1. Voi nota (ab3)=numarul natural de trei cifre ab3 (care se scrie, de obicei, cu bara deasupra).
(ab3)=[tex] 3^{a+b-1} [/tex]
(ab3)=[tex] \frac{ 3^{a+b} }{3} [/tex], deci:
3*(ab3)=[tex] 3^{a+b} [/tex], prin urmare ultima cifra a lui [tex] 3^{a+b} [/tex] este 9, adica (a+b) este o putere de forma 4k+2 a lui 3. Cum a si b cifre si [tex] 3^{a+b} [/tex] trebuie sa aiba cel putin trei cifre, rezulta ca (a+b)∈{6, 10, 14, 18}.
Observam ca a poate lua valori intre 1 si 9, iar b ia valori intre 0 si 9. Deci valiarea maxima a lui (ab3) este 993, caz in care avem:
3*993=2979<[tex] 3^{8} [/tex], deci (a+b) nu poate fi decat 6 dintre valorile enumerate mai sus. Cum a≥1 inseamna ca avem variantele:
(a;b)∈{(1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1)}
Dam, pe rand, valori lui a si b din multimea de mai sus si gasim singura varianta convenabila: a=2 si b=4. Intr-adevar:
243*3=729=[tex] 3^{2+4} [/tex]=[tex] 3^{6} [/tex]
2. Cu aceleasi notatii ca la ex anterior, avem:
(aa0)+3*(b0)=(ccc0) , care se mai scrie:
(aa)*10+3*b*10=(ccc)*10 Observam ca putem imparti la 10 ambii membri si obtinem:
(aa)+3*b=(ccc)
Cum a, b si c sunt cifre, rezulta ca valoarea maxima pe care o pot lua a si b este 9, deci:
(ccc)=(aa)+3*b ≤ 99+3*9=126, de unde rezulta ca c=1
Exercitiul se rescrie:
(aa)+3*b=111
Cum 111 este impar, rezulta ca a si 3*b trebuie sa aiba paritati diferite.
Mai observam ca 111 este multiplu de 3, 3*b este multiplu de 3, deci si (aa) este multiplu de 3, adica suma cifrelor lui (aa) este multiplu de 3, adica 2*a este multiplu de 3, deci a este multiplu de 3. Cum a este cifra, inseamna ca a∈{3, 6, 9}
Dam, pe rand, valori lui a din aceasta multime si gasim singura varianta convenabila a=9 si b=2 (in care b este cifra).
Deci solutia finala este: a=9, b=4, c=1.
Intr-adevar:
99+3*4=111
