Relatia din ipoteza se mai scrie:
[tex] \frac{MD}{CD} = \frac{4}{3} [/tex], de unde:
[tex] \frac{MD-CD}{CD} = \frac{4-3}{3} [/tex], adica:
[tex] \frac{MC}{CD} = \frac{1}{3} [/tex]
[tex] \frac{MC}{12} = \frac{1}{3} [/tex], deci:
MC=4 cm
MD=MC+CD=4+12=16 cm
Din CN || AD rezulta triunghiurile asemenea: ΔMCN≈ΔMDA, deci:
[tex] \frac{MC}{MD} = \frac{CN}{AD} [/tex]
[tex] \frac{4}{16} = \frac{CN}{AD} [/tex], dar AD≡BC, deci:
[tex] \frac{CN}{BC} = \frac{1}{4} [/tex], de unde:
[tex] \frac{CN}{BC-CN} = \frac{1}{4-1} [/tex]
[tex] \frac{CN}{BN} = \frac{1}{3} [/tex]
"=>"
Daca ABCD este romb, inseamna ca AB=BC=12 cm, deci:
[tex] \frac{CN}{12} = \frac{1}{4} [/tex]
CN=3 cm, iar
BN=BC-CN=12-3=9 cm
"<="
Daca BN=9 cm, din CM || AB rezulta triunghiurile asemenea ΔNCM≈ΔNBA, deci:
[tex] \frac{CN}{BN} = \frac{MC}{AB} [/tex]
[tex] \frac{CN}{9} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} [/tex], deci
CN=3 cm, iar BC=BN+CN=9+3=12 cm, deci
AB=BC, adica paralelogramul ABCD, avand doua laturi consecutive congruente, este romb.
c.c.t.d.
