fie O centrul cercului inscris in trapez(aflat la intersectia bisectoarelor unghiurilor trapezului)
in triunghiul isoscel AFB, FM este bisectoare deci estesi inaltime
vezi figura
ducem CE paralel FM, rezulta CE perpendicular AB
NOTAM PC=ME=b
PCEM este dreptunghi rezulta: PM=CE=2r, PC=ME=b
stim ca AB=2DC si AM =MB rezulta EB= MB-ME=b
stim ca daca ducem 2 tangente dintr-un punct la un cerc obtinem 2 segmente egale,
deci MB=BN=2b si PC=CN=b
rezulta CB=3b
in triunghiul dreptunghic CEB cf pitagora
CB²=EB²+CE²
9b²=b²+4r²
8b=4r²; 2b²=r²; b=r√2/2
Aria trapezului este (DC+AB)·CE/2=(2b+4b)·2r/2=6b·r=(6r√2/2)·r= 3r²√2
