Răspuns :
Trebuie sa stim ca, in triunghiul dreptunghic ABC, cu unghiul drept in A, avem:
R= a/2, r = (b+c-a)/2,
unde a, b, c sunt lungimile laturilor.
Vom arata ca inegalitatea din enunt este adevarata:
[tex]R\geq r(1+\sqrt2) \Leftrightarrow \dfrac{R}{r} \geq \sqrt2 +1 \Leftrightarrow \dfrac{r}{R} \leq \dfrac{1}{\sqrt2+1} \Leftrightarrow \dfrac{r}{R} \leq \sqrt2-1[/tex]
Ultima inegalitate a fost obtinuta prin rationalizarea numitorului .
[tex]\dfrac{r}{R} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow r\cdot \dfrac{1}{R} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow \dfrac{b+c-a}{2} \cdot \dfrac{2}{a} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow\\\;\\ \Leftrightarrow \dfrac{b+c-a}{a} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} -1 \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \leq \sqrt2[/tex]
Din ultima inegalitate, prin ridicare la puterea a doua si apoi aplicarea T. Pitagora, se ajunge la relatia adevarata :
[tex]b^2+c^2 \geq 2bc[/tex]
R= a/2, r = (b+c-a)/2,
unde a, b, c sunt lungimile laturilor.
Vom arata ca inegalitatea din enunt este adevarata:
[tex]R\geq r(1+\sqrt2) \Leftrightarrow \dfrac{R}{r} \geq \sqrt2 +1 \Leftrightarrow \dfrac{r}{R} \leq \dfrac{1}{\sqrt2+1} \Leftrightarrow \dfrac{r}{R} \leq \sqrt2-1[/tex]
Ultima inegalitate a fost obtinuta prin rationalizarea numitorului .
[tex]\dfrac{r}{R} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow r\cdot \dfrac{1}{R} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow \dfrac{b+c-a}{2} \cdot \dfrac{2}{a} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow\\\;\\ \Leftrightarrow \dfrac{b+c-a}{a} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} -1 \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \leq \sqrt2[/tex]
Din ultima inegalitate, prin ridicare la puterea a doua si apoi aplicarea T. Pitagora, se ajunge la relatia adevarata :
[tex]b^2+c^2 \geq 2bc[/tex]
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!