👤
a fost răspuns

Sa se demonstreze inegalitatiile:
a)2^n >/ 2n-1 , n>/2;
b)3^n+1 >/ n^4+n^2+1, n>/5
c) 1 + 1/3 + 1/7 +.... + 1/2^n - 1 n, n>/ 1

Răspuns :

ALESYOZE
a)2^n ≥ 2n-1
n=2
P(2)= 2^2 ≥ 2*2-1
=4 ≥ 3 A

n= k fixat
P(k)= 2^k ≥ 2k-1 A

n=k+1
P(k+1)= 2^k+1 (2 la puterea k+1) ≥ 2(k+1)-1
= 2^k+1 ≥ 2k + 1
Stiind ca P(k) este adevarat plecam de la 2^k ≥ 2k-1

2^k ≥ 2k-1 | *2
2*2^k ≥ 2(2k-1)
2^k+1 ≥ 4k-2
4k-2 > 2k+1
2^k+1 ≥ 4k-2 ≥ 2k+1 => 2^k+1 ≥ 2k+1 A
a)2^n>=2n-1 n>=2
I)P(2):2^2>=2*2-1=>4>3
  P(3):2^3>=2*3-1=>8>=5
II)P(k)->P(k+1)
  P(k):2^k>=2k-1 adevarata   
  P(k+1):2^(k+1)>=2k+1=>2^k*2>=2k+1=>2^k>=(2k+1)/2 de domonstrat ca asta sa fie demonstrat => 2k-1>=(2k+1)/2 inmultesti cu 2 =>4k-2>=2k+1=>2k>=3=>k>=3/2 Adevarata=>2^(k+1)>=2k+1 adevarata ∨ n>=2
b)din etapa verificarii =>ca nu se poate asa ceva


Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari