Cum DE||AB, rezulta ca m(∡BAD)=m(∡ADE) ca unghiuri alterne interne, formate cu secanta AD.
Dar AD este bisectoarea ∡BAC, deci m(∡BAD)=m(∡DAE).
Din cele doua relatii de mai sus rezulta ca ΔADE este isoscel, cu m(∡ADE)=m(∡DAE). Asadar inaltimea EM corespunzatoare bazei in ΔADE isoscel este si bisectoare, si mediana, adica M este mijlocul lui AD.
In ΔABD, MN||AB si M este mijlocul lui AD, deci MN este linie mijlocie, de unde rezulta ca N este mijlocul lui BD (adica NB=ND= [tex] \frac{BD}{2} [/tex] ), iar MN = [tex] \frac{AB}{2} [/tex] (rel 1).
In ΔACD, MN||AB si M este mijlocul lui AD, deci MP este linie mijlocie, de unde rezulta ca P este mijlocul lui CD (adica PD=PC= [tex] \frac{DC}{2} [/tex] ), iar MP = [tex] \frac{AC}{2} [/tex] (rel 2).
Din (rel 1) si (rel 2) rezulta ca NP=ND+DP= [tex] \frac{BD}{2} [/tex] + [tex] \frac{DC}{2} [/tex] = [tex] \frac{BC}{2} [/tex]
Asadar perimetrul ΔMNP=MN+MP+NP=
= [tex] \frac{AB}{2} [/tex] + [tex] \frac{AC}{2} [/tex] + [tex] \frac{BC}{2} [/tex] =
= [tex] \frac{AB+AC+BC}{2} [/tex] = jumatate din perimetrul ΔABC
