👤
GABRI18ZE
a fost răspuns

a) Demonstrati ca:[tex] \sqrt{1+ \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{n^2} }= \frac{n^2+n+1}{n(n+1)} [/tex] ,oricare ar fi n∈N*[tex] b) Calculati suma: S= \sqrt{1+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2} }+ \sqrt{1+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2} } + ...+ \sqrt{1+ \frac{1}{98^2}+ \frac{1}{99^2} }[/tex]

Răspuns :

egalitatea de la primul punct se arată mai ușor dacă scrii fracția din dreapta așa:

[tex]\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}[/tex]. Ridici apoi la pătrat și obții

[tex]1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}=\left(1+\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)^2[/tex]

în dreapta folosești formula (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Pentru 2)

Folosești egalitatea demonstrată la punctul 1) pentru n=2, 3, ..., 98, și obții:

[tex]S=1+\dfrac12-\dfrac13+1+\dfrac13-\dfrac14+1+\dfrac14-\dfrac15+...+1+\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99}=[/tex]

[tex]=97+\dfrac12-\dfrac{1}{99}=...\ (cred\ ca\ nu\ e\ o\ problema)[/tex]




Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari