Numarul nostru: abc cu bara deasupra, a,b,c - cifre distincte, a diferit de 0
Primul caz. Cifrele b si c sunt diferite de 0.
abc = ab + ac + ba + bc + ca + cb ( toate cu bara deasupra )
100a + 10b + c = 10a+b + 10a+c + 10b+a + 10b+c + 10c+a + 10c+b
100a + 10b + c = 22a + 22b + 22c
78a = 12b +21c /:3
26a = 4b + 7c
Fie a=1 => 26 = 4b + 7c => b=3 si c=2
Fie a=2 => 52 = 4b + 7c => b=6 si c=4
sau b=13 si c=0 ( imposibil )
Fie a=3 => 78 = 4b + 7c => b=16 si c=2 ( imposibil )
sau b=9 si c=6
sau b=2 si c=10 ( imposibil )
Fie a=4 => 104 = 4b + 7c
Dar observam ca pentru b si c cifre maxime ( b=c=9 ), atunci 4b + 7c = 99, deci pentru a ≥ 4 nu exista b si c.
Deci abc cu bara deasupra ∈ {132; 264;396 }
Al doilea caz. Cifra b este 0; atunci nu se mai pot forma numerele ba si bc ( cu
bara )
Si deci a0c = a0 + ac + ca + c0 ( cu bara )
100a + c = 10a + 10a+c +10c+a +10c
100a + c = 21a + 21c
79a = 20c => nu exista a si c
Al treilea caz. Cifra c este 0; atunci nu se mai pot forma numerele ca si cb ( cu
bara )
Si deci ab0 = ab + a0 + ba + b0
100a + 10b = 10a+b + 10a + 10b+a + 10b
100a + 10b = 21a + 21b
79a = 11b => nu exista a si b
In cazul b=c=0, atunci a00 = a0 + a0 => 100a = 20a => nu exista a.
In concluzie: abc ∈ { 132; 264; 396 }
