👤
a fost răspuns

Siruri...    


Fie sirul [tex]( a_{n} )[/tex] , [tex] a_{1}=5 [/tex] , [tex] a_{2}=17 [/tex] si [tex] a_{k+2}=5 a_{k+1}-4 a_{k} , k \geq 1
[/tex].
Sa se demonstreze ca [tex] a_{n}= 4^{n}+1 [/tex] , n∈N*.

Va rog ajutati-ma! Macar niste sugestii sa-mi dati... :D

Răspuns :

RED12DOG34ZE
Demonstrăm prin inducție.
Pentru n=1 formula pentru [tex]a_n[/tex] se verifică.
Presupunem că formula este adevărată pentru toți termenii [tex]a_k, \ k=1,2,\ldots,n-1[/tex]
Atunci
[tex]a_n=5a_{n-1}-4a_{n-2}=5\left(4^{n-1}+1\right)-4\left(4^{n-2}+1\right)=\\=5\cdot 4^{n-1}-4^{n-1}+1=4^{n-1}(5-1)+1=4^n+1[/tex]
Deci formula este adevărată și pentru [tex]a_n[/tex]
MATEPENTRUTOTIZE
Ecuatia caracteristica este [tex]r^2=5r-4[/tex] cu solutiile 4 si 1.
[tex]a_n=c_1 \cdot 4^n+c_2 \cdot 1^n\\ a_1=4c_1+c_2=5\\ a_2=16c_1+c_2=17\\ c_1=1;c_2=1 \\a_n=1 \cdot 4^n+1 \cdot 1^n=4^n+1\\ a_n=4^n+1[/tex]
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari