👤
LIFEZE
a fost răspuns

Rezolvaţi ecuaţia:
1+1/1+2 +1/1+2+3 +...+ 1/1+2+3+...+x = 200/101 , x aparţine lui N*
"/" - linie de fracţie

Răspuns :

RED12DOG34ZE
[tex]\displaystyle 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots +\frac{1}{1+2+3+\ldots x}=\frac{200}{101}[/tex].
Suma se scrie restrâns
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^x\displaystyle\frac{1}{1+2+\ldots k}=\sum_{k=1}^x\displaystyle\frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}}=\\=\sum_{k=1}^x\frac{2}{k(k+1)}=2\sum_{k=1}^x\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\\=2\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\\=2\left(1-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{2x}{x+1}[/tex]
Se obține ecuația
[tex]\frac{2x}{x+1}=\frac{200}{101}\Rightarrow 202x=200x+200\Rightarrow x=100[/tex]
folosesti suma lui Gauss pentru toate sumele
1+2= 2*3/2
1+2+3=3*4/2.........1+2+3+... x=x(x+1)/2
Stii ca 1 supra un nr. inseamna inversul acelui nr. 
deci, ex. devine 1+2/2*3+2/3*4+2/4*5+.......+2/x(x+1)=200/101
Il dam pe 2 factor comun
1+2(1/2*3+1/3*4+1/4*5+........+ 1/x(x+1)=200/101
Stii ca 1/2*3=1/2-1/3
1/3*4=1/3-1/4 s.a m.d
deci, 1+2(1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+....+1/x-1/(x+1))=200/101
in paranteza se reduc fractiile si ramane
1+2(1/2-1/(x+1))=200/101
rezolvi paranteza
1+2(x+1-2supra 2(x+1)=200/101
1+(x-1)/(x+1)=200/101
x-1 supra x+1=200/101
x-1 supra x+1=99/101
x=100
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari