👤
GRIGOREANDAZE
a fost răspuns

1) Se considera 2013 numere naturale nedivizibile cu 3. Aratati ca suma patratelor lor este divizibila cu 2013 .

Indicatie : Se demonstreazaca daca a= 3xn+1 sau a+3xn+2, atunci a^2=3xm+1

PS: x= ori( inmultire ) si ^ = la puterea

 

2) Demonstrati ca daca p este numar prim atunci ecuatia p^2+2^p=2015 nu are solutii .

Indicatie : Se demonstreaza ca daca p este  mai mare sau egal cu 3 este numar prim , atunci restul impartirii la 4 a numarului p^2 este 1 , iar restul impartirii la 4 a numarului 2^p este 0 .

Răspuns :

CPWZE
1)Daca numerele nu sunt divizibile cu 13 sunt de forma:

Caz 1: a= 3n+1 => a²=9n²+6n+1 = 3(n²+2n) +1 = 3*m+1

sau Caz 2:  a=3n+2 =>  a²=9n²+12n+4 =9n²+12n+3+1=3(n²+4n+1) +1=3*p+1

Daca adunam cei 2013 numere gen a² , vom avea indiferent cate sunt in cazul 1, sau in cazul 2:
 Suma=3*( m+p+......)+1*2013 =3*(m+p+...)+3*671=3*[(m+p)+671]  este divizibila cu 3.


2) O prima ipoteza pe care o luam in calcul este ca p nu poate fi par, deoarece numerele pare nu sunt prime (mai putin 2, dar 2²+2²≠2015 deci iese din discutie)

Analizam fiecare termen :
p²
un patrat perfect , daca p nu este par , se termina in 1, 5 si 9.

2 la puterea p
2 la  orice putere impara se termina in 2 sau 8 .

Analizam ultima cifra a sumei: p²+2la puterea p
1+2=3
5+2=7
9+2=..1

1+8=9
5+8=..4
9+8=..7
 deci, nici o suma nu se termina in 5, asadar  nu poate fi egal cu 2015, deci :
 ecuatia p²+2la puterea p=2015 nu are solutii.



Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari