Răspuns :
1. Determinați numarul natural n, știind că:
a) 5 la puterea 1+2+3+....+2014= 5 la puterea n+1007
1+2+3+...+2014=2014*(2014+1):2=1007*2015
n+1007=1007*2015
n=1007*2015-1007=1007(2015-1)=1007*2014=2028098
b) 7 la puterea 2+4+6+....+100=7 la puterea n (n+1)
2+4+6+100=(100+2)[(100-2):2+1]:2=102*50:2=102*25=2550
n(n+1)=2550 n=50
___________________________________
2. Să se afle ultimele 2014 cifre ale numarului 7000⁶⁷¹
numarul de 0-uri la 671, inseamna 671*3=2013 zerouri
7⁶⁷¹
puterile lui 7 au ultima cifra in seturi de 4: 7,9,3,1
deci 671:4= 167 rest 3
Deci ultima cifra este 3
=> ultimile 2014 cifre ale lui 7000⁶⁷¹ sunt: 3 urmat de 0 de 2013 ori
____________________________________
3. Aflați ultima cifră a nr. a=2²⁰¹³* 5²⁰¹⁴+ 7⁵
2²⁰¹³- are ultima cifra 2, pentru ca
puterile lui 2 au ultima cifra- seturi de cate : 2,4,8,6
2013:4=503 rest 1
5²⁰¹⁴- are ultima cifra 5, pentru ca
puterile lui 5 au ultima cifra 5
=>ultima cifra a lui 2*5 este 0
7⁵ - are ultima cifra 7, pentru ca :
puterile lui 7 au ultima cifra -seturi de cate 4: 7,9,3,1
5:4=1 rest 1
putem calcula 7⁵=16807
deci , ultima cifra a lui a este 0+7=7
___________________________________
4. Arătați ca numărul 25²⁰¹³ este pătrat perfect.
25²⁰¹³ = 5²*²⁰¹³ = ( 5²⁰¹³)² - este patrat perfect
_____________________________________
5. Scrieți mulțimea divizorilor proprii ai nr.: a) 7; b) 13; c) 24; d) 5³ e) 4² f) 30 g) 36 h) 96
7=numar prim, deci divizorii proprii=Ф
13=numar prim, deci divizorii proprii=Ф
24=2,3,4,6,8,12
5³=125=5,25
4²=16=2,4,8
30=2,3,5,6,10,15
36=2,3,6,12,13
96= 2,3,4,6,12,16,24,32,48
______________________________________
6. Scrieți mulțimea divizorilor improprii ai numerelor: a) 11 b) 17 c) 25 d) 7 la puterea 2 e) 42 f) 51 g) 2014 h) 2015
11=1,11
17=1,17
25=1,25
49=1,49
42=1,42
51=1,51
2014=1,2014
2015=1,2015
_____________________________________
7. Scrieți numerele naturale cel mult egale cu 130, care au exact opt divizori.
8=2*2*2 sau 2*4 sau 4*2
Asadar: n+1=2 => n=1
sau n+1=4 => n=3
deci puterile pot fi :
a¹*b¹*c¹ , sau a¹*b³ , sau a³*b¹
cei mai mici a,b,c sunt 2,3,5,7,11,13,17,19,23...
adica:
2*3*5=30=1,2,3,5,6,10,30
2*3*7=42=1,2,3,6,7,14,21,42
2*3*11=66= 1,2,3,6,11,22,33,66
2*3*17=102=1,2,3,6,17,34,51,102
2*3*19=114=1,2,3,6,19,38,57,114
2*3*23=nu=138>130
2*5*7=70=1,2,5,7,10,14,35,70
2*5*11=110=1,2,5,10,11,22,55,110
2*5*13=130=1,2,5,10,13,26,65,130
2*5*17=170>130=nu
2*7*11=154>130=nu
2*11*13=286>130=nu
3*5*7=105=1,3,5,7,15,21,35,105
3*5*11=165>130=nu
3*7*11=231>130=nu
5*7*11=285>130=nu
2*3³=2*27=54=1,2,3,6,9,18,27,54
2*5³=2*125=250>130-nu
2³*3=24=1,2,3,4,6,8,12,24
2³*5=40=1,2,4,5,8,10,20,40
2³*7=8*7=56=1,2,4,7,8,14,28,54
2³*11=88=1,2,4,8,11,22,44,88
2³*13=8*13=104=1,2,4,8,13,26,52,104
2³*17 =136>130 nu
Asadar, numerele naturale cel mult egale cu 130, care au exact 8 divizori sunt: 24,30,40,42,54,56,66,70,88,102,104,105,110,114,130.
______________________________________
8. Determinați numarul natural n, știind că
a) n+4 este divizor al nr. 18
n+4=18 =>n=14
n+4=9 =>n=5
n+4=6 =>n=2
=>n∈{2,5,4}
b) 18 supra n+2 apartine numerelor naturale.
18/(n+2) =1 =>n=18-2=16
18/(n+2) =2 =>2n=18-4=14 => n=7
18/(n+2) =3 =>3=18-6=12 =>n=4
18/(n+2) =4 sau 5 nu se poate deoarece 4 si 5 nu sunt divizori ai lui 18
18/(n+2) =6 =>6n=18-12=6 =>n=1
18/(n+2) =18 =>18n=18-36=-18 => n= -1 nu este natural
n∈{1,4,7,16}
___________________________________
9. Suma a două numere naturale prime este 15. Aflați cele doua numere.
Numerele prime pana la 15 sunt:
1,2,3,5,7,11,13
Singura posibilitate este :
13+2=15
______________________________________
10. Fie nr. a= n la puterea 2 - n + 19. Aflați cea mai mica valoare a lui n, număr natural , pentru care a nu este număr prim.
a=n²-n+19
n=0, a=19 - numar prim
n=1, a=19 - numar prim
n=2, a=4-2+19=21 ok!
Deci: n=2
a) 5 la puterea 1+2+3+....+2014= 5 la puterea n+1007
1+2+3+...+2014=2014*(2014+1):2=1007*2015
n+1007=1007*2015
n=1007*2015-1007=1007(2015-1)=1007*2014=2028098
b) 7 la puterea 2+4+6+....+100=7 la puterea n (n+1)
2+4+6+100=(100+2)[(100-2):2+1]:2=102*50:2=102*25=2550
n(n+1)=2550 n=50
___________________________________
2. Să se afle ultimele 2014 cifre ale numarului 7000⁶⁷¹
numarul de 0-uri la 671, inseamna 671*3=2013 zerouri
7⁶⁷¹
puterile lui 7 au ultima cifra in seturi de 4: 7,9,3,1
deci 671:4= 167 rest 3
Deci ultima cifra este 3
=> ultimile 2014 cifre ale lui 7000⁶⁷¹ sunt: 3 urmat de 0 de 2013 ori
____________________________________
3. Aflați ultima cifră a nr. a=2²⁰¹³* 5²⁰¹⁴+ 7⁵
2²⁰¹³- are ultima cifra 2, pentru ca
puterile lui 2 au ultima cifra- seturi de cate : 2,4,8,6
2013:4=503 rest 1
5²⁰¹⁴- are ultima cifra 5, pentru ca
puterile lui 5 au ultima cifra 5
=>ultima cifra a lui 2*5 este 0
7⁵ - are ultima cifra 7, pentru ca :
puterile lui 7 au ultima cifra -seturi de cate 4: 7,9,3,1
5:4=1 rest 1
putem calcula 7⁵=16807
deci , ultima cifra a lui a este 0+7=7
___________________________________
4. Arătați ca numărul 25²⁰¹³ este pătrat perfect.
25²⁰¹³ = 5²*²⁰¹³ = ( 5²⁰¹³)² - este patrat perfect
_____________________________________
5. Scrieți mulțimea divizorilor proprii ai nr.: a) 7; b) 13; c) 24; d) 5³ e) 4² f) 30 g) 36 h) 96
7=numar prim, deci divizorii proprii=Ф
13=numar prim, deci divizorii proprii=Ф
24=2,3,4,6,8,12
5³=125=5,25
4²=16=2,4,8
30=2,3,5,6,10,15
36=2,3,6,12,13
96= 2,3,4,6,12,16,24,32,48
______________________________________
6. Scrieți mulțimea divizorilor improprii ai numerelor: a) 11 b) 17 c) 25 d) 7 la puterea 2 e) 42 f) 51 g) 2014 h) 2015
11=1,11
17=1,17
25=1,25
49=1,49
42=1,42
51=1,51
2014=1,2014
2015=1,2015
_____________________________________
7. Scrieți numerele naturale cel mult egale cu 130, care au exact opt divizori.
8=2*2*2 sau 2*4 sau 4*2
Asadar: n+1=2 => n=1
sau n+1=4 => n=3
deci puterile pot fi :
a¹*b¹*c¹ , sau a¹*b³ , sau a³*b¹
cei mai mici a,b,c sunt 2,3,5,7,11,13,17,19,23...
adica:
2*3*5=30=1,2,3,5,6,10,30
2*3*7=42=1,2,3,6,7,14,21,42
2*3*11=66= 1,2,3,6,11,22,33,66
2*3*17=102=1,2,3,6,17,34,51,102
2*3*19=114=1,2,3,6,19,38,57,114
2*3*23=nu=138>130
2*5*7=70=1,2,5,7,10,14,35,70
2*5*11=110=1,2,5,10,11,22,55,110
2*5*13=130=1,2,5,10,13,26,65,130
2*5*17=170>130=nu
2*7*11=154>130=nu
2*11*13=286>130=nu
3*5*7=105=1,3,5,7,15,21,35,105
3*5*11=165>130=nu
3*7*11=231>130=nu
5*7*11=285>130=nu
2*3³=2*27=54=1,2,3,6,9,18,27,54
2*5³=2*125=250>130-nu
2³*3=24=1,2,3,4,6,8,12,24
2³*5=40=1,2,4,5,8,10,20,40
2³*7=8*7=56=1,2,4,7,8,14,28,54
2³*11=88=1,2,4,8,11,22,44,88
2³*13=8*13=104=1,2,4,8,13,26,52,104
2³*17 =136>130 nu
Asadar, numerele naturale cel mult egale cu 130, care au exact 8 divizori sunt: 24,30,40,42,54,56,66,70,88,102,104,105,110,114,130.
______________________________________
8. Determinați numarul natural n, știind că
a) n+4 este divizor al nr. 18
n+4=18 =>n=14
n+4=9 =>n=5
n+4=6 =>n=2
=>n∈{2,5,4}
b) 18 supra n+2 apartine numerelor naturale.
18/(n+2) =1 =>n=18-2=16
18/(n+2) =2 =>2n=18-4=14 => n=7
18/(n+2) =3 =>3=18-6=12 =>n=4
18/(n+2) =4 sau 5 nu se poate deoarece 4 si 5 nu sunt divizori ai lui 18
18/(n+2) =6 =>6n=18-12=6 =>n=1
18/(n+2) =18 =>18n=18-36=-18 => n= -1 nu este natural
n∈{1,4,7,16}
___________________________________
9. Suma a două numere naturale prime este 15. Aflați cele doua numere.
Numerele prime pana la 15 sunt:
1,2,3,5,7,11,13
Singura posibilitate este :
13+2=15
______________________________________
10. Fie nr. a= n la puterea 2 - n + 19. Aflați cea mai mica valoare a lui n, număr natural , pentru care a nu este număr prim.
a=n²-n+19
n=0, a=19 - numar prim
n=1, a=19 - numar prim
n=2, a=4-2+19=21 ok!
Deci: n=2
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!