Rezolvăm mai întâi integrala, descompunând-o în fracţii simple:
[tex] \frac{1}{x(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}+1} = \frac{Ax^{2}+A+Bx}{x(x^2+1)}[/tex]
La numărător trebuie să avem 1:
[tex]Ax^{2}+A+Bx = 1\\
=> A=1 \ si \ B=-x[/tex]
Având A-ul şi B-ul, integrala iniţială va fi de forma:
[tex] \int\limits^t_1 {\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}} \, dx = \int\limits^t_1 {\frac{1}{x} - \int\limits^t_1 \frac{x}{x^{2}+1}}[/tex]
Le luăm separat:
[tex]\int\limits^t_1 {\frac{1}{x} \ dx = lnx \ |^{t}_{1} = ln \ t[/tex]
[tex]- \int\limits^t_1 \frac{x}{x^{2}+1}} = - \frac{1}{2}\int\limits^t_1 \frac{2x}{x^{2}+1}}[/tex]
notăm [tex]x^{2}+1=y[/tex] <=> [tex]2x \ dx = dy[/tex]
=> [tex] -\frac{1}{2} ln (x^{2} +1) |^{t}_{1} = -\frac{1}{2} ln (t^{2} +1) - \frac{1}{2}ln2[/tex]
După ce aducem totul la o formă mai convenabilă, o să avem:
[tex] \lim_{t \to \infty} ln \frac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{t^2+1}}[/tex]
Limită din ln este egală cu ln din limită. Evident, limita la acea fracţie este 1 (grad 1 pe grad 1):
[tex]\lim_{t \to \infty} ln \frac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{t^2+1}} = ln \ 1 = 0[/tex]
