Te foloseşti de teorema sinusurilor:
[tex] \frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} [/tex]
a, b, c = laturile triunghiului
Îl scriem pe sin B şi sin C în funcţie de sin A:
[tex] \frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} \\ \\
sin B = \frac{b \ * \ sin A}{a} => sin^2B = \frac{b^2 \ * \ sin^2 A}{a^2} \\
sin C = \frac{c \ * \ sin A}{a} => sin^2C = \frac{c^2 \ * \ sin^2 A}{a^2} \\
\\
sin^2B + sin^2C = \frac{b^2 \ * \ sin^2 A \ + \ c^2 \ * \ sin^2 A}{a^2}[/tex]
Îl dăm factor comun pe sin A şi obţinem:
[tex]sin^2B + sin^2C = \frac{ sin^2 A \ (b^2\ + \ c^2 )}{a^2}[/tex]
Dar ştim, din cerinţă, că
[tex]sin^2B+sin^2C=sin^2A[/tex]
[tex]=>\\ \\
\frac{ sin^2 A \ (b^2\ + \ c^2 )}{a^2} = sin^2A[/tex]
Avem sin A în ambele părţi, deci îl simplificăm şi obţinem:
[tex] \frac{b^2\ + \ c^2 }{a^2} = 1 \\
<=> {b^2\ + \ c^2 = a^2 \\[/tex]
Asta este exact teorema lui Pitagora, valabilă în triunghiul dreptunghic ( suma pătratelor a două laturi este egală cu pătratul celei de a treia). Deci, din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul este dreptunghic.
