👤
a fost răspuns

Ajutor ! Ofer 99 puncte .... Sa se afle numerele a ,b,c stiind ca a/b+1 =b/ c+1 = c/2 si b este media aritmetica dintre a si c

Răspuns :

ALBASTRUVERDE12ZE
[tex]Avem~b= \frac{a+c}{2}. \\ \\ \frac{a}{b+1}= \frac{b}{c+1}= \frac{c}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{ \frac{a+c}{2}+1 } = \frac{ \frac{a+c}{2} }{c+1}= \frac{c}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{ \frac{a+c+2}{2} }= \frac{a+c}{2(c+1)}= \frac{c}{2} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \frac{2a}{a+c+2}= \frac{a+c}{2(c+1)}= \frac{c}{2} . \\ \\ Din~\frac{a+c}{2(c+1)} = \frac{c}{2} ~rezulta~a+c= \frac{2c(c+1)}{2} \Leftrightarrow a+c=c^2+c \Rightarrow a=c^2. [/tex]

[tex]Daca~c=0 \Rightarrow a=b=0. \\ \\ Daca~c \neq 0,~atunci,~din~ \frac{2a}{a+c+2}= \frac{c}{2}~rezulta~a+c= \frac{4a}{c}-2 \Leftrightarrow \\ \\ c^2+c= \frac{4c^2}{c}-2 \Leftrightarrow c^2+c =4c-2 \Leftrightarrow c^2=3c-2. \\ \\ Deci~c^2-3c+2=0 \Leftrightarrow (c-1)(c-2)=0 \Rightarrow c \in \{1;2 \}.[/tex]

[tex]c=1 \Rightarrow a=1 ~si~b= \frac{1+1}{2}=1. \\ \\ c=2 \Rightarrow a= 2^2=4 ~si~b= \frac{ 4+2}{2}=3. \\ \\ Solutie:~(a,b,c) \in \{(0,0,0);(1,1,1);(4,3,2)\}.[/tex]
INCOGNITOZE
[tex]a,b,c\in\mathbb{N}\\ \frac{a}{b+1}=\frac{b}{c+1}=\frac{c}{2}\\ b=\frac{a+c}{2}\Rightarrow a+c=2b\\ Putem\ folosi\ siruri\ de \ rapoarte \egale.\ Adunam\ prima\ cu\ a\ treia\: \\ \frac{a+c}{b+3}=\frac{2b}{b+3}=\frac{c}{2}\Rightarrow\frac{b}{b+3}=\frac{c}{4}\Rightarrow\\ \frac{b+3}{b}=\frac{4}{c}\Rightarrow 1+\frac{3}{b}=\frac{4}{c}\\ Deoarece\ 1+\frac{3}{b}\ \textgreater \ 1\Rightarrow \frac{4}{c}\ \textgreater \ 1\Rightarrow c\ \textless \ 4\\ Laum\ pe\ cazuri: \\ I)\ c=3\Rightarrow b=9,a=15\ solutia\ nu\ convine\\ II) c=2\Rightarrow b=3,a=4 [/tex]
[tex] solutia\ convine.\\ III) c=1\Rightarrow b=1,c=1\ solutia\ convine\\ IV) c=0\Rightarrow b=0,c=0\\ Asadar\ avem\ TREI SOLUTII.\\[/tex]
OBS;cazul IV este incompatibil cu rationamentul realizat (am intors fractiile). Din acest motiv, ar fi trebuit considerat acest caz inainte de a continua rationamentul-cel in care am inversat fractiile.
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari