Răspuns :
Faci asa:
1)Daca desfaci toata ecuatia iti da ca :[tex](x+y)-(2x+2y)+(3x+3y)-(4x+4y)+...+(49x+49y)-\\-(50x+50y)=(x+y)-2(x+y)+3(x+y)-4(x+y)+..+\\+49(x+y)-50(x+y)[/tex]
Acum trebuie sa dam factor comun pe (x+y) si sa separam elementele negative de cele pozitive, asa : [tex](x+y)-2(x+y)+3(x+y)-4(x+y)+..+49(x+y)-50(x+y)=\\=(x+y)(1+3+5+...+49)-(x+y)(2+4+...+50)[/tex] .
Acum trebuie sa aplicam o formula specifica acestei situatii. Daca de exemplu avem un sir de numere: 1+2+3+4+....+n acesta va fi egal cu n(n+1)/2 .
Si 2+4+...+50 se mai poate scrie si ca 2*(1+2+3+...+25).
Prima parte e putin mai grea deoarece nu poti sa aplici formula de mai sus deoarece numerele sunt impare..dar am gasit o formula. Un numar impar poate fi reprezentat de formula 2*x+1=nr.impar. Deci daca avem numerele: 1+3+5+7 acestea vor fi egale cu [tex](2*0+1)+(2*1+1)+(2*2+1)+(2*3+1)[/tex].
Pentru afla cate numere impare sunt luam ultima cifra(in cazul nostru 7) si aplicam formula, asa: [tex]2*n+1=7=\ \textgreater \ 2*n=6=\ \textgreater \ n=3[/tex] si deoarece numaratoarea incepe de la 0 inseamna ca sunt 4 numere.
Acum vom impartii ecuatia in doua parti.Prima parte va fi :
[tex](x+y)(1+3+5+...+49)=\\=(x+y)[(2*0+1)+(2*1+1)+...+(2*24+1)]=\\=(x+y)[2*(0+1+..+24)+25*1]=\\=(x+y)(2* \frac{24*25}{2} +25)=\\=(x+y)(24*25+25)=25^2(x+y)=625(x+y)[/tex]
A doua parte va fi:
[tex]-(x+y)(2+4+...+50)=-(x+y)*2*(1+2+..+25)=\\=-(x+y)*2*\frac {25*26} 2=-(x+y)*25*26=-650(x+y)[/tex]
Dupa cum vezi [tex]2* \frac{25*26}{2}=25*26[/tex] .
Acum le unim,dam factor comun pe (x+y) si ne da ca:[tex]625(x+y)-650(x+y)=-25(x+y)[/tex]
Si daca x=y=7 atunci [tex]-25(x+y)=-25*7=-175[/tex]
2)Faci ca la 1) doar ca e mai usor. Mai intai incerci sa-l scoti in afara pe (x-y+2z) ,asa:
[tex](x-y+2z)+(2x-2y+4z)+....+(10x-10y+20z)=\\=(x-y+2z)+2*(x-y+2z)+..+10*(x-y+2z)[/tex]
Acum il dam factor comun pe x-y+z :
[tex](x-y+2z)+2*(x-y+2z)+..+10*(x-y+2z)=\\=(x-y+2z)(1+2+...+10)=\\=(x-y+2z)* \frac{10*11}{2} =\\=(x-y+2z)*55[/tex]
Stiind ca x-y+2z e 5 inseamna ca [tex](x-y+2z)*55=5*55=275[/tex]
1)Daca desfaci toata ecuatia iti da ca :[tex](x+y)-(2x+2y)+(3x+3y)-(4x+4y)+...+(49x+49y)-\\-(50x+50y)=(x+y)-2(x+y)+3(x+y)-4(x+y)+..+\\+49(x+y)-50(x+y)[/tex]
Acum trebuie sa dam factor comun pe (x+y) si sa separam elementele negative de cele pozitive, asa : [tex](x+y)-2(x+y)+3(x+y)-4(x+y)+..+49(x+y)-50(x+y)=\\=(x+y)(1+3+5+...+49)-(x+y)(2+4+...+50)[/tex] .
Acum trebuie sa aplicam o formula specifica acestei situatii. Daca de exemplu avem un sir de numere: 1+2+3+4+....+n acesta va fi egal cu n(n+1)/2 .
Si 2+4+...+50 se mai poate scrie si ca 2*(1+2+3+...+25).
Prima parte e putin mai grea deoarece nu poti sa aplici formula de mai sus deoarece numerele sunt impare..dar am gasit o formula. Un numar impar poate fi reprezentat de formula 2*x+1=nr.impar. Deci daca avem numerele: 1+3+5+7 acestea vor fi egale cu [tex](2*0+1)+(2*1+1)+(2*2+1)+(2*3+1)[/tex].
Pentru afla cate numere impare sunt luam ultima cifra(in cazul nostru 7) si aplicam formula, asa: [tex]2*n+1=7=\ \textgreater \ 2*n=6=\ \textgreater \ n=3[/tex] si deoarece numaratoarea incepe de la 0 inseamna ca sunt 4 numere.
Acum vom impartii ecuatia in doua parti.Prima parte va fi :
[tex](x+y)(1+3+5+...+49)=\\=(x+y)[(2*0+1)+(2*1+1)+...+(2*24+1)]=\\=(x+y)[2*(0+1+..+24)+25*1]=\\=(x+y)(2* \frac{24*25}{2} +25)=\\=(x+y)(24*25+25)=25^2(x+y)=625(x+y)[/tex]
A doua parte va fi:
[tex]-(x+y)(2+4+...+50)=-(x+y)*2*(1+2+..+25)=\\=-(x+y)*2*\frac {25*26} 2=-(x+y)*25*26=-650(x+y)[/tex]
Dupa cum vezi [tex]2* \frac{25*26}{2}=25*26[/tex] .
Acum le unim,dam factor comun pe (x+y) si ne da ca:[tex]625(x+y)-650(x+y)=-25(x+y)[/tex]
Si daca x=y=7 atunci [tex]-25(x+y)=-25*7=-175[/tex]
2)Faci ca la 1) doar ca e mai usor. Mai intai incerci sa-l scoti in afara pe (x-y+2z) ,asa:
[tex](x-y+2z)+(2x-2y+4z)+....+(10x-10y+20z)=\\=(x-y+2z)+2*(x-y+2z)+..+10*(x-y+2z)[/tex]
Acum il dam factor comun pe x-y+z :
[tex](x-y+2z)+2*(x-y+2z)+..+10*(x-y+2z)=\\=(x-y+2z)(1+2+...+10)=\\=(x-y+2z)* \frac{10*11}{2} =\\=(x-y+2z)*55[/tex]
Stiind ca x-y+2z e 5 inseamna ca [tex](x-y+2z)*55=5*55=275[/tex]
1) Expresie se mai poate scrie ...
- 2(x+y) - 4(x+y) - ... - 50(x+y)
+ (x+y) +3(x+y)+ ... +49(x+y) suma algebrica a lor este...
-(x+y) - (x+y) - ... - (x+y) = - 25(x+y) ⇒ rezultat final = -25 * 7 = -175 ;
2) S=(x-y+2z) +2(x-y+2z)+...+10(x-y+2z) =5(1+2+3+...+10) = 275
- 2(x+y) - 4(x+y) - ... - 50(x+y)
+ (x+y) +3(x+y)+ ... +49(x+y) suma algebrica a lor este...
-(x+y) - (x+y) - ... - (x+y) = - 25(x+y) ⇒ rezultat final = -25 * 7 = -175 ;
2) S=(x-y+2z) +2(x-y+2z)+...+10(x-y+2z) =5(1+2+3+...+10) = 275
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!