Răspuns :
Doua triunghiuri asemenea au laturi proportionale dar si unghiurile egale.
Atunci stii ca [tex]\widehat{ABC}=\widehat{DEF}[/tex](1)
Ducem inaltimile din A pe BC, o notam cu M, si din D pe EF, o notam cu N
Atunci o sa avem triunghiurile dreptunghice AMB si DNE cu [tex]\widehat{AMB}=\widehat{DNE}=90[/tex] fiecare cu catetele AB,MB respectiv DN,NE si ipotenuzele AB, respectiv BE
Mai stim ca sinusul unui unghi in triunghi dreptunghic are formula
[tex]\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}[/tex]
Aplicam la cele doua triunghiuri pentru unghiurile ABC si DEF
[tex]\sin{ABM}=\frac{AM}{AB}[/tex]
[tex]\sin{DEN}=\frac{DN}{BE}[/tex]
Din (1), cum am spus, sunt unghiuri egale, deci si sinusurile sunt egale
Atunci
[tex]\frac{AM}{AB}}=\frac{DN}{BE}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{AB}{BE}=3[/tex]
Laturile sunt proportionale, deci raportul lor este egal
[tex]\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=3[/tex]
Avem toate datele acum sa facem raportul ariilor
A_ABC/A_DEF=AM*AB/DN*BC=AM/DN*AB/BC=3*3=9
Atunci stii ca [tex]\widehat{ABC}=\widehat{DEF}[/tex](1)
Ducem inaltimile din A pe BC, o notam cu M, si din D pe EF, o notam cu N
Atunci o sa avem triunghiurile dreptunghice AMB si DNE cu [tex]\widehat{AMB}=\widehat{DNE}=90[/tex] fiecare cu catetele AB,MB respectiv DN,NE si ipotenuzele AB, respectiv BE
Mai stim ca sinusul unui unghi in triunghi dreptunghic are formula
[tex]\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}[/tex]
Aplicam la cele doua triunghiuri pentru unghiurile ABC si DEF
[tex]\sin{ABM}=\frac{AM}{AB}[/tex]
[tex]\sin{DEN}=\frac{DN}{BE}[/tex]
Din (1), cum am spus, sunt unghiuri egale, deci si sinusurile sunt egale
Atunci
[tex]\frac{AM}{AB}}=\frac{DN}{BE}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{AB}{BE}=3[/tex]
Laturile sunt proportionale, deci raportul lor este egal
[tex]\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=3[/tex]
Avem toate datele acum sa facem raportul ariilor
A_ABC/A_DEF=AM*AB/DN*BC=AM/DN*AB/BC=3*3=9
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!