Formula care se aplica este:
[tex]\frac{1}{k*(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\\[/tex]
Aceasta se demonstreaza foarte usor aducand la acelasi numitor in membrul drept.
Aplicam aceasta formula succesiv pentru k=1,2,3,...,2011:
[tex]\frac{1}{1*2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2*3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3*4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\ ........................\\ \frac{1}{2010*2011}=\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\\ \frac{1}{2011*2012}=\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\\[/tex]
Se aduna relatiile membru cu membru, in membru doi obtinem o suma telescopica, si avem in final ca:
S=1-1/2012<1, unde cu S am notat suma data. O suma telescopica este o suma in care doi termeni consecutivi se reduc reciproc astfel incat sa ramana in final doi termeni.
